一、杨辉三角形

1.1 杨辉三角形的概念

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 。

我们先看一下杨辉三角形的打印结果：

1.2 杨辉三角形的性质

杨辉三角形有很多性质：

1). 每行端点与结尾的数为1.

2). 每个数等于它上方两数之和。

3). 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

4). 第n行的数字有n项。

5). 前n行共[(1+n)n]/2 个数。

6).第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

7). 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

8). 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

9). (a+b)^n^的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

10). 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

11). 将第n行的数字分别乘以10^（m-1）^，其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）^。11^0^=1，

        11^1^=1 * 10^0^ + 1 * 10^1^=11，

        11^2^=1×10^0^+2x10^1^^+1x10^2^=121，

        11^3^=1x10^0^+3×10^1^+3x10^2^+1x10^3^=1331，

        11^4^=1x10^0^+4x10^1^10^2^+4x10^3+1x10^4=14641，

        11^5^=1x10^0^+5x10^1^+10x10^2^+10x10^3^+5x10^4^+1×10^5^=161051。

12). 第n行数字的和为2^（n-1）^。1=2^（1-1）^，1+1=2^（2-1）^，1+2+1=2^（3-1）^，1+3+3+1=2^（4-1）^，1+4+6+4+1=2^（5-1）^，1+5+10+10+5+1=2^（6-1）^。

13). 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。

14). 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

实现杨辉三角形的打印也有很多方式，今天我为大家介绍两种方式：

        ①使用数组的方式：这也是网上比较常见的方式。需要使用数组，所以效率较低。

        ②不使用数组的方式：不需要使用数组，所以效率较高。

二、使用数组的方式

2.1 示意图

根据上面的性质，如果我们要打印一个11行的杨辉三角形，我们可以将整个排列看做是一个n行，0-n列的矩阵，再结合上面的性质8，我们将这个矩阵用一个二维数组来实现，如下图：

2.2 代码分步实现

2.2.1 根据示意图，我们先定义一个二维数组：

int n = 11;//要几行的数据
int[][] values = new int[n][];//定义n行，但暂时每行的列数先不定义

2.2.2 生成二维数组，根据杨辉三角形性质，n行的数字个数为n：

for(int i = 0;i < values.length ; i++){
   values[i] = new int[i + 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n+1列
}

2.2.3 填充二维数组：

for(int i = 0;i < values.length ; i++){
   values[i] = new int[i + 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n+1列
   for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j++){
       //根据性质1，每行的首尾都为：1
       if(j == 0 || j == value[i].lenght - 1){
           values[i][j] = 1;
      }else if(i > 1){//根据性质8，除首尾外的其它数字 = 上方数 + 上方左侧的数
           values[i][j] = values[i - 1][j] + values[i - 1][j - 1];
      }
  }
}

2.2.4 完整代码：

public class YangHui {
   public static void main(String[] args) {
       yangHui(8);
  }
   private static void yangHui3(int n) {
       int[][] values = new int[n][];//定义n行，但暂时每行的列数先不定义
       for(int i = 0;i < values.length ; i++){
           values[i] = new int[i + 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n+1列
           for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j++){
               //根据性质1，每行的首尾都为：1
               if(j == 0 || j == values[i].length - 1){
                   values[i][j] = 1;
              }else if(i > 1){//根据性质8，除首尾外的其它数字 = 上方数 + 上方左侧的数
                   values[i][j] = values[i - 1][j] + values[i - 1][j - 1];
              }
          }
      }
       print(values);
  }
   
   private static void print(int[][] values) {
       for(int i = 0; i < values.length; i++) {
           for(int j = 0; j < values[i].length; j++) {
               System.out.printf("%-4d", values[i][j]);
          }
           System.out.println();
      }
  }
}

数组的方式比较好理解，但需要创建二维数组，效率较低，接下来我们看一下不需要数组的写法。

三、不使用数组的方式

3.1 算法说明

根据性质6，第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

我们将其表示为C(i , j)的组合数，那么就有以下算法：

1、例如：i=3、j=2的位置上，值为C(3,2)，即(3*2)/(1*2)=3/1 * 2/2 = 3
2、例如：i=5、j=3的位置上，值为C(5,3)，即(5*4*3)/(1*2*3)= 5/1 * 4/2 * 3/3 = 5 * 2 * 1 = 10
3、例如：i=7、j=4的位置上，值为C(7,4)，即(7*6*5*4)/(1*2*3*4) = 7/1 * 6/2 * 5/3 * 4/4 = 35

3.2 代码实现

根据上述算法，我们就可以很方便的写出以下代码：

private static void yangHui2(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {//行
        for(int j = 0; j <= i; j++) {//列
            //计算每列的值
            int value = 1;
            for(int k = 0; k < j; k++) {
                value = value * (i-k) / (k+1);
            }
            System.out.printf("%-4d", value);
        }
        System.out.println();
    }
}